(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__U11(tt, V2) → a__U12(a__isNat(V2))
a__U12(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt, V2) → a__U32(a__isNat(V2))
a__U32(tt) → tt
a__U41(tt, N) → mark(N)
a__U51(tt, M, N) → a__U52(a__isNat(N), M, N)
a__U52(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U61(tt) → 0
a__U71(tt, M, N) → a__U72(a__isNat(N), M, N)
a__U72(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__isNat(0) → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__isNat(V1), V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNat(x(V1, V2)) → a__U31(a__isNat(V1), V2)
a__plus(N, 0) → a__U41(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U51(a__isNat(M), M, N)
a__x(N, 0) → a__U61(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U71(a__isNat(M), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X)) → a__U12(mark(X))
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U32(X)) → a__U32(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U51(X1, X2, X3)) → a__U51(mark(X1), X2, X3)
mark(U52(X1, X2, X3)) → a__U52(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U61(X)) → a__U61(mark(X))
mark(U71(X1, X2, X3)) → a__U71(mark(X1), X2, X3)
mark(U72(X1, X2, X3)) → a__U72(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0) → 0
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X) → U12(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U32(X) → U32(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U51(X1, X2, X3) → U51(X1, X2, X3)
a__U52(X1, X2, X3) → U52(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U61(X) → U61(X)
a__U71(X1, X2, X3) → U71(X1, X2, X3)
a__U72(X1, X2, X3) → U72(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2n):
The rewrite sequence
mark(plus(X1, s(X205563_4))) →+ a__U51(a__isNat(mark(X205563_4)), mark(X205563_4), mark(X1))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X205563_4 / plus(X1, s(X205563_4))].
The result substitution is [ ].
The rewrite sequence
mark(plus(X1, s(X205563_4))) →+ a__U51(a__isNat(mark(X205563_4)), mark(X205563_4), mark(X1))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [X205563_4 / plus(X1, s(X205563_4))].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(2^n, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__U11(tt, V2) → a__U12(a__isNat(V2))
a__U12(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt, V2) → a__U32(a__isNat(V2))
a__U32(tt) → tt
a__U41(tt, N) → mark(N)
a__U51(tt, M, N) → a__U52(a__isNat(N), M, N)
a__U52(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U61(tt) → 0'
a__U71(tt, M, N) → a__U72(a__isNat(N), M, N)
a__U72(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__isNat(V1), V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNat(x(V1, V2)) → a__U31(a__isNat(V1), V2)
a__plus(N, 0') → a__U41(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U51(a__isNat(M), M, N)
a__x(N, 0') → a__U61(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U71(a__isNat(M), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X)) → a__U12(mark(X))
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U32(X)) → a__U32(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U51(X1, X2, X3)) → a__U51(mark(X1), X2, X3)
mark(U52(X1, X2, X3)) → a__U52(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U61(X)) → a__U61(mark(X))
mark(U71(X1, X2, X3)) → a__U71(mark(X1), X2, X3)
mark(U72(X1, X2, X3)) → a__U72(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X) → U12(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U32(X) → U32(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U51(X1, X2, X3) → U51(X1, X2, X3)
a__U52(X1, X2, X3) → U52(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U61(X) → U61(X)
a__U71(X1, X2, X3) → U71(X1, X2, X3)
a__U72(X1, X2, X3) → U72(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(tt, V2) → a__U12(a__isNat(V2))
a__U12(tt) → tt
a__U21(tt) → tt
a__U31(tt, V2) → a__U32(a__isNat(V2))
a__U32(tt) → tt
a__U41(tt, N) → mark(N)
a__U51(tt, M, N) → a__U52(a__isNat(N), M, N)
a__U52(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U61(tt) → 0'
a__U71(tt, M, N) → a__U72(a__isNat(N), M, N)
a__U72(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__isNat(V1), V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNat(V1))
a__isNat(x(V1, V2)) → a__U31(a__isNat(V1), V2)
a__plus(N, 0') → a__U41(a__isNat(N), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U51(a__isNat(M), M, N)
a__x(N, 0') → a__U61(a__isNat(N))
a__x(N, s(M)) → a__U71(a__isNat(M), M, N)
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X)) → a__U12(mark(X))
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U21(X)) → a__U21(mark(X))
mark(U31(X1, X2)) → a__U31(mark(X1), X2)
mark(U32(X)) → a__U32(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U51(X1, X2, X3)) → a__U51(mark(X1), X2, X3)
mark(U52(X1, X2, X3)) → a__U52(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U61(X)) → a__U61(mark(X))
mark(U71(X1, X2, X3)) → a__U71(mark(X1), X2, X3)
mark(U72(X1, X2, X3)) → a__U72(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X) → U12(X)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U21(X) → U21(X)
a__U31(X1, X2) → U31(X1, X2)
a__U32(X) → U32(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U51(X1, X2, X3) → U51(X1, X2, X3)
a__U52(X1, X2, X3) → U52(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U61(X) → U61(X)
a__U71(X1, X2, X3) → U71(X1, X2, X3)
a__U72(X1, X2, X3) → U72(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11,
a__isNat,
a__U31,
a__U41,
mark,
a__U51,
a__U52,
a__plus,
a__U71,
a__U72,
a__xThey will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U31
a__U11 < mark
a__isNat = a__U31
a__isNat < mark
a__isNat < a__U51
a__isNat < a__plus
a__isNat < a__U71
a__isNat < a__x
a__U31 < mark
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__U52
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__U72
a__U41 = a__x
mark = a__U51
mark = a__U52
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__U72
mark = a__x
a__U51 = a__U52
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__U72
a__U51 = a__x
a__U52 = a__plus
a__U52 = a__U71
a__U52 = a__U72
a__U52 = a__x
a__plus = a__U71
a__plus = a__U72
a__plus = a__x
a__U71 = a__U72
a__U71 = a__x
a__U72 = a__x
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNat, a__U11, a__U31, a__U41, mark, a__U51, a__U52, a__plus, a__U71, a__U72, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U31
a__U11 < mark
a__isNat = a__U31
a__isNat < mark
a__isNat < a__U51
a__isNat < a__plus
a__isNat < a__U71
a__isNat < a__x
a__U31 < mark
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__U52
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__U72
a__U41 = a__x
mark = a__U51
mark = a__U52
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__U72
mark = a__x
a__U51 = a__U52
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__U72
a__U51 = a__x
a__U52 = a__plus
a__U52 = a__U71
a__U52 = a__U72
a__U52 = a__x
a__plus = a__U71
a__plus = a__U72
a__plus = a__x
a__U71 = a__U72
a__U71 = a__x
a__U72 = a__x
(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
a__isNat(
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(
+(
1,
n4_0))) →
*3_0, rt ∈ Ω(n4
0)
Induction Base:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, 0)))
Induction Step:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, +(n4_0, 1)))) →RΩ(1)
a__U21(a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0)))) →IH
a__U21(*3_0)
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(10) Complex Obligation (BEST)
(11) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Lemmas:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, a__U31, a__U41, mark, a__U51, a__U52, a__plus, a__U71, a__U72, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U31
a__U11 < mark
a__isNat = a__U31
a__isNat < mark
a__isNat < a__U51
a__isNat < a__plus
a__isNat < a__U71
a__isNat < a__x
a__U31 < mark
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__U52
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__U72
a__U41 = a__x
mark = a__U51
mark = a__U52
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__U72
mark = a__x
a__U51 = a__U52
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__U72
a__U51 = a__x
a__U52 = a__plus
a__U52 = a__U71
a__U52 = a__U72
a__U52 = a__x
a__plus = a__U71
a__plus = a__U72
a__plus = a__x
a__U71 = a__U72
a__U71 = a__x
a__U72 = a__x
(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.
(13) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Lemmas:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U31, a__U41, mark, a__U51, a__U52, a__plus, a__U71, a__U72, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U31
a__U11 < mark
a__isNat = a__U31
a__isNat < mark
a__isNat < a__U51
a__isNat < a__plus
a__isNat < a__U71
a__isNat < a__x
a__U31 < mark
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__U52
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__U72
a__U41 = a__x
mark = a__U51
mark = a__U52
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__U72
mark = a__x
a__U51 = a__U52
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__U72
a__U51 = a__x
a__U52 = a__plus
a__U52 = a__U71
a__U52 = a__U72
a__U52 = a__x
a__plus = a__U71
a__plus = a__U72
a__plus = a__x
a__U71 = a__U72
a__U71 = a__x
a__U72 = a__x
(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U31.
(15) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Lemmas:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U41, a__U51, a__U52, a__plus, a__U71, a__U72, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__U52
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__U72
a__U41 = a__x
mark = a__U51
mark = a__U52
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__U72
mark = a__x
a__U51 = a__U52
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__U72
a__U51 = a__x
a__U52 = a__plus
a__U52 = a__U71
a__U52 = a__U72
a__U52 = a__x
a__plus = a__U71
a__plus = a__U72
a__plus = a__x
a__U71 = a__U72
a__U71 = a__x
a__U72 = a__x
(16) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
mark(
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(
n8549_0)) →
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(
n8549_0), rt ∈ Ω(1 + n8549
0)
Induction Base:
mark(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0)) →RΩ(1)
tt
Induction Step:
mark(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(n8549_0, 1))) →RΩ(1)
s(mark(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0))) →IH
s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(c8550_0))
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(17) Complex Obligation (BEST)
(18) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Lemmas:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
mark(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0)) → gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0), rt ∈ Ω(1 + n85490)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U41, a__U51, a__U52, a__plus, a__U71, a__U72, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__U52
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__U72
a__U41 = a__x
mark = a__U51
mark = a__U52
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__U72
mark = a__x
a__U51 = a__U52
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__U72
a__U51 = a__x
a__U52 = a__plus
a__U52 = a__U71
a__U52 = a__U72
a__U52 = a__x
a__plus = a__U71
a__plus = a__U72
a__plus = a__x
a__U71 = a__U72
a__U71 = a__x
a__U72 = a__x
(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U41.
(20) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Lemmas:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
mark(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0)) → gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0), rt ∈ Ω(1 + n85490)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U51, a__U52, a__plus, a__U71, a__U72, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__U52
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__U72
a__U41 = a__x
mark = a__U51
mark = a__U52
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__U72
mark = a__x
a__U51 = a__U52
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__U72
a__U51 = a__x
a__U52 = a__plus
a__U52 = a__U71
a__U52 = a__U72
a__U52 = a__x
a__plus = a__U71
a__plus = a__U72
a__plus = a__x
a__U71 = a__U72
a__U71 = a__x
a__U72 = a__x
(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U51.
(22) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Lemmas:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
mark(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0)) → gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0), rt ∈ Ω(1 + n85490)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U52, a__plus, a__U71, a__U72, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__U52
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__U72
a__U41 = a__x
mark = a__U51
mark = a__U52
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__U72
mark = a__x
a__U51 = a__U52
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__U72
a__U51 = a__x
a__U52 = a__plus
a__U52 = a__U71
a__U52 = a__U72
a__U52 = a__x
a__plus = a__U71
a__plus = a__U72
a__plus = a__x
a__U71 = a__U72
a__U71 = a__x
a__U72 = a__x
(23) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U52.
(24) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Lemmas:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
mark(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0)) → gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0), rt ∈ Ω(1 + n85490)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__plus, a__U71, a__U72, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__U52
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__U72
a__U41 = a__x
mark = a__U51
mark = a__U52
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__U72
mark = a__x
a__U51 = a__U52
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__U72
a__U51 = a__x
a__U52 = a__plus
a__U52 = a__U71
a__U52 = a__U72
a__U52 = a__x
a__plus = a__U71
a__plus = a__U72
a__plus = a__x
a__U71 = a__U72
a__U71 = a__x
a__U72 = a__x
(25) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__plus.
(26) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Lemmas:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
mark(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0)) → gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0), rt ∈ Ω(1 + n85490)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U71, a__U72, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__U52
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__U72
a__U41 = a__x
mark = a__U51
mark = a__U52
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__U72
mark = a__x
a__U51 = a__U52
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__U72
a__U51 = a__x
a__U52 = a__plus
a__U52 = a__U71
a__U52 = a__U72
a__U52 = a__x
a__plus = a__U71
a__plus = a__U72
a__plus = a__x
a__U71 = a__U72
a__U71 = a__x
a__U72 = a__x
(27) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U71.
(28) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Lemmas:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
mark(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0)) → gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0), rt ∈ Ω(1 + n85490)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U72, a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__U52
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__U72
a__U41 = a__x
mark = a__U51
mark = a__U52
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__U72
mark = a__x
a__U51 = a__U52
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__U72
a__U51 = a__x
a__U52 = a__plus
a__U52 = a__U71
a__U52 = a__U72
a__U52 = a__x
a__plus = a__U71
a__plus = a__U72
a__plus = a__x
a__U71 = a__U72
a__U71 = a__x
a__U72 = a__x
(29) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U72.
(30) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Lemmas:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
mark(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0)) → gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0), rt ∈ Ω(1 + n85490)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__x
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__U52
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__U72
a__U41 = a__x
mark = a__U51
mark = a__U52
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__U72
mark = a__x
a__U51 = a__U52
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__U72
a__U51 = a__x
a__U52 = a__plus
a__U52 = a__U71
a__U52 = a__U72
a__U52 = a__x
a__plus = a__U71
a__plus = a__U72
a__plus = a__x
a__U71 = a__U72
a__U71 = a__x
a__U72 = a__x
(31) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__x.
(32) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Lemmas:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
mark(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0)) → gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0), rt ∈ Ω(1 + n85490)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(33) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
(34) BOUNDS(n^1, INF)
(35) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Lemmas:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
mark(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0)) → gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(n8549_0), rt ∈ Ω(1 + n85490)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(36) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
(37) BOUNDS(n^1, INF)
(38) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(
tt,
V2) →
a__U12(
a__isNat(
V2))
a__U12(
tt) →
tta__U21(
tt) →
tta__U31(
tt,
V2) →
a__U32(
a__isNat(
V2))
a__U32(
tt) →
tta__U41(
tt,
N) →
mark(
N)
a__U51(
tt,
M,
N) →
a__U52(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U52(
tt,
M,
N) →
s(
a__plus(
mark(
N),
mark(
M)))
a__U61(
tt) →
0'a__U71(
tt,
M,
N) →
a__U72(
a__isNat(
N),
M,
N)
a__U72(
tt,
M,
N) →
a__plus(
a__x(
mark(
N),
mark(
M)),
mark(
N))
a__isNat(
0') →
tta__isNat(
plus(
V1,
V2)) →
a__U11(
a__isNat(
V1),
V2)
a__isNat(
s(
V1)) →
a__U21(
a__isNat(
V1))
a__isNat(
x(
V1,
V2)) →
a__U31(
a__isNat(
V1),
V2)
a__plus(
N,
0') →
a__U41(
a__isNat(
N),
N)
a__plus(
N,
s(
M)) →
a__U51(
a__isNat(
M),
M,
N)
a__x(
N,
0') →
a__U61(
a__isNat(
N))
a__x(
N,
s(
M)) →
a__U71(
a__isNat(
M),
M,
N)
mark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X)) →
a__U12(
mark(
X))
mark(
isNat(
X)) →
a__isNat(
X)
mark(
U21(
X)) →
a__U21(
mark(
X))
mark(
U31(
X1,
X2)) →
a__U31(
mark(
X1),
X2)
mark(
U32(
X)) →
a__U32(
mark(
X))
mark(
U41(
X1,
X2)) →
a__U41(
mark(
X1),
X2)
mark(
U51(
X1,
X2,
X3)) →
a__U51(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U52(
X1,
X2,
X3)) →
a__U52(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
plus(
X1,
X2)) →
a__plus(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
U61(
X)) →
a__U61(
mark(
X))
mark(
U71(
X1,
X2,
X3)) →
a__U71(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
U72(
X1,
X2,
X3)) →
a__U72(
mark(
X1),
X2,
X3)
mark(
x(
X1,
X2)) →
a__x(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
0') →
0'a__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X) →
U12(
X)
a__isNat(
X) →
isNat(
X)
a__U21(
X) →
U21(
X)
a__U31(
X1,
X2) →
U31(
X1,
X2)
a__U32(
X) →
U32(
X)
a__U41(
X1,
X2) →
U41(
X1,
X2)
a__U51(
X1,
X2,
X3) →
U51(
X1,
X2,
X3)
a__U52(
X1,
X2,
X3) →
U52(
X1,
X2,
X3)
a__plus(
X1,
X2) →
plus(
X1,
X2)
a__U61(
X) →
U61(
X)
a__U71(
X1,
X2,
X3) →
U71(
X1,
X2,
X3)
a__U72(
X1,
X2,
X3) →
U72(
X1,
X2,
X3)
a__x(
X1,
X2) →
x(
X1,
X2)
Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
tt :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
mark :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
s :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
0' :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
a__x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
plus :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
x :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U11 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U12 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
isNat :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U21 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U31 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U32 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U41 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U51 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U52 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U61 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U71 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
U72 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72 → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
hole_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U721_0 :: tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0 :: Nat → tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U72
Lemmas:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(x))
No more defined symbols left to analyse.
(39) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
a__isNat(gen_tt:s:0':plus:x:U11:U12:isNat:U21:U31:U32:U41:U51:U52:U61:U71:U722_0(+(1, n4_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n40)
(40) BOUNDS(n^1, INF)